Question

19．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连结BE，BE、CD的延长线交于点F，则S_△EDF：S_{四边形ABCD}的值为（　　）

• A． 1：2
• B． 1：3
• C． 1：4
• D． 1：5

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，得出DE=$\frac{1}{2}$BC，证明△ABE≌△DFE，得出△ABE的面积=△DFE的面积，因此四边形ABCD的面积=△BCF的面积；证明△EDF∽△BCF，得出面积比等于相似比的平方S_△EDF：S_△BCF=1：4即可．

解答 解：∵E是AD边上的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，DE=$\frac{1}{2}$BC，
在△ABE和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}&{\;}\\{∠AEB=∠DEF}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴△ABE的面积=△DFE的面积，
∴四边形ABCD的面积=△BCF的面积；
∵AD∥BC，△EDF∽△BCF，
∴$\frac{{S}_{△EDF}}{{S}_{△BCF}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$；
∴S_△EDF：S_{四边形ABCD}=1：4；
故选：C．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．