Question

如图，矩形ABCD的边AD=18cm，AB=16cm，⊙O与AB，BC分别相切于E，F，并且⊙O与以AD为直径的半圆N相切于P，试求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明AQ=OE=μ；BE=OF=μ；求出λ=

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AD=9，得到NQ=9-μ，OQ=16-μ，ON=9+μ；运用勾股定理列出关于μ的方程，求出μ即可解决问题．

解答： 解：如图，连接OE、OF；连接ON；
延长FO交AD于点Q；设⊙O、⊙N的半径分别为λ、μ；
∵⊙O与AB，BC分别相切于E，F，且⊙O与半圆N相切于P，
∴OE⊥AB、OF⊥BC、ON过点P；
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=90°，四边形ABFQ、EBFO均为矩形，
∴AQ=OE=μ；BE=OF=μ；由题意得：λ=

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AD=9，
∴NQ=9-μ，OQ=16-μ，ON=9+μ；
由勾股定理得：（9+μ）²=（9-μ）²+（16-μ）²，
解得：μ=4或64（设去），
即⊙O的半径长=4（cm）．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质、矩形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．