题目内容

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC= $数学公式$ ，AD= $数学公式$ ，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A（如图），斜边与CD交于点F，设BE=x，CF=y
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求y关于x的函数解析式，并求出当点E移动到什么位置时y的值最大，最大值是多少？
（3）连接AF，当△AEF为直角三角形时，求x的值；
（4）求点E移动过程中，△ADF外接圆半径的最小值．

解：（1）∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；

（2）AB=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）÷2× $\text{[math]}$ =3，
由（1）得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x（4 $\text{[math]}$ -x）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x（0＜x＜4 $\text{[math]}$ ），

当x=2 $\text{[math]}$ 即E为BC的中点时，y_max= $\text{[math]}$ ；

（3）（i）如图i．当∠EAF=90°时，EF= $\text{[math]}$ AE，
∴EC= $\text{[math]}$ AB，即4 $\text{[math]}$ -x= $\text{[math]}$ ×3，
∴x= $\text{[math]}$ ；
（ii）如图ii：∠EFA=90°时，∴AE= $\text{[math]}$ EF，

∴AB= $\text{[math]}$ EC，即3= $\text{[math]}$ （4 $\text{[math]}$ -x），
∴x= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（4）设△ADF外接圆的圆心为O，其半径为r．
∵∠ADF=135°，
∴劣弧AF所对圆周角为45°
∴劣弧AF所对圆心角∠AOF=90°，
∴AF= $\text{[math]}$ r，
当AF最小时，r也最小；

又∵当CF最大时，AF最小，
此时DF=DC-CF=3- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
作FH⊥AD于H，则FH=DH= $\text{[math]}$ ，
∴AF_min= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴r_min= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意易证∠1=∠3，从而得出△ABE∽△ECF；
（2）由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函数，求出y的最大值即可；
（3）分两种情况①∠EAF=90°时，②∠EFA=90°时，得出x的值；
（4）设△ADF外接圆半径为r，作FH⊥AD于H，由勾股定理可求出r的最小值．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题以及等腰梯形的性质，是一道综合题，难度较大．