Question

【题目】如图，点D在边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，过D作DE⊥AB于E，，则线段AC的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，作∠DAH=∠DAE，交BC于H，过点D作DF⊥AH于F，过点A作AG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得DE=DF，AE=AF，由∠C+∠BAD＝∠DAC可得∠HAC=∠C，即可证明AH=CH，设DE=4x，根据，利用勾股定理可求出DF、AF的长，设FH=y，在Rt△DFH中，利用勾股定理列方程可求出y值，即可求出DH的长，利用面积法可求出AG的长，利用勾股定理可求出DG的长，即可求出CG的长，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．

如图，作∠DAH=∠DAE，交BC于H，过点D作DF⊥AH于F，过点A作AG⊥BC于G，

∵DE⊥AB，

∴DE=DH，AE=AF，

设DE=4x，

∵，

∴AE=7x，

∵AD=，AE2+AE2=AD2，

∴(4x)2+(7x)2=65，

解得：x=1，（负值舍去）

∴DE=4，AE=7，

∴DF=DE=4，DF=AE=7，

∵∠C+∠BAD＝∠DAC，∠DAC=∠DAH+∠HAC，

∴∠HAC=∠C，

∴AH=CH，

设FH=y，

∴CH=AH=AF+FH=7+y，

∵CD=13，

∴DH=CD-CH=6-y，

在Rt△DFH中，DF2+FH2=DH2，即42+y2=(6-y)2，

解得：y=，

∴DH=6-=，CH=AH=7+=，

∴S△ADH=DH·AG=AH·DF，即·AG=×4，

解得：AG=8，

∴DG==1，

∴CG=CD-DG=12，

∴AC==．

故答案为：