Question

16．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²+bx+c经过（-1，m²+2m+1）、（0，m²+2m+2）两点，其中m为常数．
（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；
（2）若抛物线y=x²+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
（3）设（a，y₁）、（a+2，y₂）是抛物线y=x²+bx+c上的两点，请比较y₂-y₁与0的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c；
（2）令y=0，抛物线和x轴有公共点，即△≥0，和非负数确定出m的值，
（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y₁，y₂，求出y₂-y₁分情况讨论即可

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过（-1，m²+2m+1）、（0，m²+2m+2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c={m}^{2}+2m+1}\\{c={m}^{2}+2m+2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c={m}^{2}+2m+2}\end{array}\right.$，
即：b=2，c=m²+2m+2，
（2）由（1）得y=x²+2x+m²+2m+2，
令y=0，得x²+2x+m²+2m+2=0，
∵抛物线与x轴有公共点，
∴△=4-4（m²+2m+2）≥0，
∴（m+1）²≤0，
∵（m+1）²≥0，
∴m+1=0，
∴m=-1；
（3）由（1）得，y=x²+2x+m²+2m+2，
∵（a，y₁）、（a+2，y₂）是抛物线的图象上的两点，
∴y₁=a²+2a+m²+2m+2，y₂=（a+2）²+2（a+2）+m²+2m+2，
∴y₂-y₁=[（a+2）²+2（a+2）+m²+2m+2]-[a²+2a+m²+2m+2]
=4（a+2）
当a+2≥0，即a≥-2时，y₂-y₁≥0，
当a+2＜0，即a＜-2时，y₂-y₁＜0．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b，用m表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．