Question

16．在平行四边形ABCD中，F是CD上一点，延长AF、BC交于点E．
（1）求证：△ADF∽△ECF；
（2）若CD=3DF，△ADF的面积为3cm²，求△ECF的面积．

Answer 1

分析 （1）通过AD、CE平行，可得到△ADF与△ECF的两个对应角相等，利用“AA”判定两个三角形相似；
（2）由于两个三角形相似，利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，计算出△ECF的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF=∠E，∠D=∠FCE，
∴△ADF∽△ECF；
（2）解：∵CD=3DF，
∴CF=2DF，即$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{2}$，
由于△ADF∽△ECF，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△ECF}}=（\frac{DF}{CF}）^{2}=\frac{1}{4}$，
∵S_△ADF=3cm²，
∴S_△ECF=12cm²．即△ECF的面积为12cm²．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法以及相似三角形的性质．
三角形的判定：“平行判定法”、“两边对应成比例，夹角相等”“两角对应相等”“三边对应成比例”等几种判定办法；相似三角形的性质主要有：相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的周长比等于其相似比，相似三角形的面积比等于其相似比的平方等．