Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），如果直线DP与图象G恰好有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．

（3）抛物线上有一个动点Q，当点Q在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S_△QAB=12，并求出此时Q点的坐标．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据A和B的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式和a的值；

（2）首先求出直线CD的表达式和直线BD的表达式，然后求得直线BD与x轴的交点，根据图象即可确定；

（3）首先求得AB的长，根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高，从而求得Q的纵坐标，然后代入二次函数解析式求得Q的横坐标即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=2x²+mx+n过点A（﹣1，a ），B（3，a），

∴抛物线的对称轴x=1．

∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，

∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．

∴抛物线的表达式是y=2（x﹣1）²﹣4，

即y=2x²﹣4x﹣2．

把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式y=2x²﹣4x﹣2，则a=4；

（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y轴的对称点为点D，

∴D（﹣1，﹣4）．

求出直线CD的表达式为y=﹣4．

B的坐标是（3，4），设BD的解析式是y=kx+b，

则，

解得：，

则直线BD的表达式为y=2x﹣2，当x=1时，y=0．

所以﹣4＜t≤0；

（3）存在点Q，使△QAB的面积等于12，

AB=3﹣（﹣1）=4，

设P到AB的距离是d，则×4d=12，

解得：d=6，

则Q的纵坐标是4﹣6=﹣2，或4+6=10．

当Q的纵坐标是﹣2时，在y=2x²﹣4x﹣2中令y=﹣2，则2x2﹣4x=0，

解得：x=0或2，

则Q的坐标是（0，﹣2）或（2，﹣2）；

当Q的坐标是10时，在y=2x²﹣4x﹣2中令y=﹣2，则2x2﹣4x﹣2=10，

解得：x=1+或1﹣，

则Q的坐标是（1+，10）或（1﹣，10）．

总之，Q的坐标是：（0，﹣2）或（2，﹣2）或（1+，10）或（1﹣，10）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式确定Q的纵坐标是关键．