Question

2．如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法正确的有：①②③
①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．

Answer 1

分析 可先证明△ABD≌△EBC，可判断①；再证明△ABM≌△EBM，可判断②；可证明△BMN为等边三角形，可判断③；利用等边三角形的三线合一可判断④，可求得答案．

解答 解：
∵△ABE，△BCD均为等边三角形，
∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠EBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△EBC（SAS），

∴AD=EC，故①正确；
∴∠DAB=∠BEC，
又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠EBD=60°，
在△ABM和△EBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠NEB}\\{AB=BE}\\{∠ABE=∠EBN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△EBN（ASA），
∴BM=BN，故②正确；
∴△BMN为等边三角形，
∴∠NMB=∠ABM=60°，
∴MN∥AC，故③正确；
若EM=MB，则AM平分∠EAB，
则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，
故④不正确；
综上可知正确的有①②③，
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）．