Question

14．如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，点E是弧AC上的一个动点，过点E的切线与AD交于点F，与CD交于点H． 
（1）求△DFH的周长；
（2）求证：∠FBH=45°；
（3）设正方形的对角线AC交BF于P，交BH于Q，如果AP=x，CQ=y，求y与x之间满足的关系．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得出AB⊥AD，BC⊥CD，推出DA和CD都是圆B的切线，根据切线长定理可得出FE=FA，HE=HC，代入求出即可；
（2）首先利用切线的性质得BE⊥FH，易得Rt△ABF≌Rt△EBF，Rt△EBH≌Rt△CBH，由全等三角形的性质得∠ABF=∠EBF，∠EBH=∠CBH，证得∠FBH=45°；
（3）首先利用外角的性质得∠ABQ=∠CPB，易得△ABQ∽△CPB，利用相似三角形的性质得AB：CP=AQ：CB，代入整理即可．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圆B的切线，
∵FH切圆B于E，
∴FE=FA，HE=HC，
∴△DFH的周长是DF+FE+HE+DH=DF+FA+HC+DH=AD+CD=2$\sqrt{2}$；

（2）证明：连接BE，
∵FH是圆B的切线，
∴BE⊥FH，
∴∠FEB=∠HEB=90°，
在Rt△ABF与Rt△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FE}\\{FB=FB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△EBF（HL），
∴∠ABF=∠EBF，
在Rt△EBH与Rt△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BH}\\{EH=CH}\end{array}\right.$，
∴Rt△EBH≌Rt△CBH，
∴∠EBH=∠CBH，
∵∠ABC=∠ABF+∠EBF+∠EBH+∠CBH=90°，
∴$∠FBH=∠EBF+∠EBH=\frac{1}{2}∠ABC=45°$；

（3）解：∵∠CPB=∠BAC+∠ABP，∠ABQ=∠ABP+∠PBQ，∠BAC=∠PBQ=45°，
∴∠ABQ=∠CPB，
∵∠BAC=∠ACB=45°，
∴△ABQ∽△CPB，
∴AB：CP=AQ：CB，
∵AB=BC=$\sqrt{2}$，AC=2，CP=2-y，AQ=2-x，
∴$\sqrt{2}$：（2-y）=（2-x）：$\sqrt{2}$，
所以X与y之间的关系为 （2-x）（2-y）=2 或y=$\frac{2x-2}{x-2}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，切线的判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．