Question

12．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，将△ABC绕着点C逆时针旋转45°后得到△DEC，AB、DE交于点F，CD交AB于M，CB交DE于N．
（1）求证：四边形AFEC是菱形；
（2）求四边形CMFN的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ACEF是平行四边形，再利用邻边相等证明是菱形即可．
（2）根据S_{四边形CMFN}=S_△CBM-S_△BNF即可计算．

解答 （1）证明：∵AB=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
∵∠ACD=∠ECB=45°，
∴∠AMC=∠CNE=90°，
∴∠ACB=∠FNB=90°，
∴AC∥ED，
∵∠ECB=∠B=45°，
∴CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵CA=CE，
∴四边形ACEF是菱形．
（2）解：∵AC=CB=2$\sqrt{2}$，CM⊥AB，∠ACB=90°，
∴CM=2，同理CN=2，BN=FN=2$\sqrt{2}$-2
∴S_{四边形CMFN}=S_△CBM-S_△BNF=$\frac{1}{2}$×2²-$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）²=8$\sqrt{2}$-10．

点评 本题考查旋转变换、菱形的判定和性质等知识．解图的关键是熟练掌握菱形的判定方法以及性质，学会利用分割法求四边形面积，属于中考常考题型．