Question

5．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点F，交BC于点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．给出以下四个结论：
①DF是⊙O的切线；②CF=EF；③$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$；④∠A=2∠FDC．
其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 由BD=DC，OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，OD∥AC，由DF⊥AC得出得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线，然后证出△ABC是等腰三角形，得出∠B=∠C，再推出△CDE为等腰三角形，从而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假设推出$\widehat{AE}$≠$\widehat{DE}$；③不正确；即可得出结果．

解答 解：连接OD、DE、AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB，
∵DB=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线，①正确；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠CED=∠B，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CED=∠C，
∴DC=DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF=EF，②正确；
当∠EAD=∠EDA时，$\widehat{AE}=\widehat{DE}$，
此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则$\widehat{AE}$≠$\widehat{DE}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$不正确；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC，④正确；
故答案为：①②④．

点评 此题考查的知识点是切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、圆内接四边形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及圆周角定理是解决问题的关键．