Question

1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点
（1）求证：MN⊥AC；
（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．

Answer 1

分析 （1）首先由直接三角形的斜边上的中线的性质得出AM=CM，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结论；
（2）由直接三角形的斜边上的中线的性质得出AM=MD=MC，利用三角形的内角和得出∠AMD=180°-2∠ADM，∠CMD=180°-2∠CDM，求得∠AMC，进一步利用等腰三角形的性质得出答案即可．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC；
（2）解：∵M是BD的中点，
∴MD=$\frac{1}{2}$BD，
∴AM=DM，
∴∠AMD=180°-2∠ADM，
同理∠CMD=180°-2∠CDM，
∴∠AMC=∠AMD+∠CMD=180°-2∠ADM+180°-2∠CDM=120°，
∵AM=DM，
∴∠1=∠2=30°．

点评 本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的判定的应用与性质，三角形的内角和定理，掌握图形的基本性质是解决问题的关键．