Question

6．如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，CD是弦，∠BAC=30°，OE⊥AC，垂足为E；CD⊥AB，垂足为F．
（1）求AC的长；
（2）求图中两个阴影部分面积之和．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理得出AC=2AE，再由直角三角形的性质求出OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而可得出结论；
（2）连接BC，根据垂径定理得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，故BC=BD，所以S_弓形BD=S_弓形BC，由三角形中位线定理求出BC的长，根据S_阴影=S_半圆-S_△ABC即可得出结论．

解答 解：（1）∵OE⊥AC，
∴E为AC的中点，即AC=2AE．
∵∠BAC=30°，AB=4，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴AE=$\sqrt{{OA}^{2}-{OE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AE=2$\sqrt{3}$；

（2）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BC=BD，
∴S_弓形BD=S_弓形BC．
∵O为AB的中点，OE⊥AC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC=2OE=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_半圆-S_△ABC=$\frac{1}{2}$π×2²-2$\sqrt{3}$=2π-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．