Question

12．（1）已知，如图1，△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆圆心为O，切点分别为D、E、F，半径为r，试说明：r=$\frac{2S}{l}$．
（2）请你利用上述探究的结论，解决下列问题
①已知△ABC的周长为42，AB=14，边AB上的高为12，则它的内切圆的半径为4
②已知△ABC的三边长分别为5，12，13．则它的内切圆的半径为1
③已知如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（-3，0）、B（3，0）、C（0，4）．若△ABC内心为D．则点D坐标为（0，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）先表示出△AOB，△BOC，△AOC，再用面积的和即可；
（2）①利用圆的内切圆的性质以及三角形的面积公式：三角形的面积=$\frac{1}{2}$×三角形的周长×内切圆的半径即可求解．
②先证得△ABC是直角三角形．然后根据三角形的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r计算即可．
③首先根据三角形的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r求得内切圆的半径，即可确定D的坐标．

解答 解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，且OE=r，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB×OE=$\frac{1}{2}$AB×r，
同理：S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC×r，
S_△AOC=$\frac{1}{2}$AC×r，
∴S=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC═$\frac{1}{2}$AB×r+$\frac{1}{2}$BC×r+$\frac{1}{2}$AC×r=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）×r，
∵l=AB+BC+AC，
∴S=$\frac{1}{2}$lr，
∴r=$\frac{2S}{l}$．
（2）①设内切圆的半径是r，则$\frac{1}{2}$×42r=$\frac{1}{2}$×14×12，
解得：r=4，
即它的内切圆的半径为4．
故答案为：4
②∵△ABC的三边长分别为5，12，13．
∴5²+12²=13²，
∴△ABC是直角三角形，
由△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（AB+BC+AC）×r可知：$\frac{1}{2}$（5+12+13）r=$\frac{1}{2}$×5×12．
解得：r=1．
故答案为：1
③∵A（-3，O），B（3，O），C（0，4）
∴AB=6，OC=4，
∴AC=BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{1}{2}$（6+5+5）r=$\frac{1}{2}$×6×4，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴D（0，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内切圆和内心，明确三角形的面积=$\frac{1}{2}$lr是解题的关键．是一道比较简单的中考常考题．