对于正实数a.b,2-ab=$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{4}$-$\frac{4ab}{4}$=$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{4}$=2∵2≥0,∴ab≤2,如图:如果点A(a.b)是反比例函数y=$\frac{3}{x}$图象上一点.过点A作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线.垂足分别为点B.C.仿照上面给定的条件(1)求出四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．

对于正实数a，b；（$\frac{a+b}{2}$）²-ab=$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{4}$-$\frac{4ab}{4}$=$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{4}$=（$\frac{a-b}{2}$）²
∵（$\frac{a-b}{2}$）²≥0；∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²；如图：如果点A（a，b）是反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的垂线；过点A作y轴的垂线，垂足分别为点B，C，仿照上面给定的条件
（1）求出四边形OBAC的周长最小值
（2）四边形OBAC的周长最小时点A的坐标．

分析（1）由点A在第一象限即可得出a＞0、b＞0、a+b＞0、ab=3，结合ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²即可得出a+b≥2$\sqrt{3}$，再根据矩形的周长公式即可得出结论；
（2）由当a=b时a-b=0，即可得出当a=b时四边形OBAC的周长最小，结合ab=3即可得出点A的坐标．

解答解：（1）∵点A（a，b）是反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）图象上一点，
∴a＞0，b＞0，a+b＞0，ab=3．
∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴a+b≥2$\sqrt{3}$，
∴四边形OBAC的周长2（a+b）≥4$\sqrt{3}$，即四边形OBAC的周长最小值为4$\sqrt{3}$．
（2）∵当a=b时，a-b=0，
∴当a=b时，四边形OBAC的周长最小．
∵ab=3，且点A（a，b）在第一象限，
∴四边形OBAC的周长最小时点A的坐标为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、不等式的性质以及矩形的周长，解题的关键是：（1）根据不等式的性质找出a+b≥2$\sqrt{3}$；（2）根据不等式的性质找出当a=b时，四边形OBAC的周长最小．