Question

如图，矩形OBCD的边OB=2

3

，OD=4，过点B、C且与x轴相切于点A的⊙M，与y轴的另一交点为E．
（1）求点A、E的坐标；
（2）求过A、C、E三点的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）可连接AM并延长AM交BC于F，那么不难得出AF⊥BC，根据垂径定理可知BF=OA=2，由此可求出A点的坐标．
求E点坐标，关键是求OE的长，可连接CE，AE，AC，由于∠EBC=90°，因此CE必过圆心M，则∠EAC=90°，因此可通过相似三角形OEA和DAC来求出OE的长，即可得出E点的坐标．
（2）根据A、C、E的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）连接AM并延长AM交BC于F，
由于OD与圆M相切于A，因此AF⊥OD．
∵BC∥OD，
∴AF⊥BC
∴BF=FC=OA=AD=2，
即A点的坐标为（2，0）
连接CE、AE、AC，
∵∠EBC=90°，
∴CE是圆M的直径，
∴∠EAC=90°，
可得△OEA∽△DAC，
∴

OD

OE

=

CD

OA

，
OE=OD•OA÷CD=

2 3

3

，
因此E点的坐标为（0，

2 3

3

）．

（2）已知A，C，E的坐标分别为（2，0），（4，2

3

），（0，

2 3

3

）．
可设过这三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+

2 3

3

，
则有

4a+2b+ 2 3 3 =0 16a+4b+ 2 3 3 =2 3

，
解得

a= 3 3 b=- 3

，
因此抛物线的解析式为y=

3

3

x²-

3

x+

2 3

3

．

点评：本题主要考查了矩形的性质，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的应用以及二次函数解析式的确定等知识点，综合性较强．