题目内容
已知：在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上运动，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断
与
哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．
（3）如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．
（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为
（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断
| OC+BD |
| OA |
| OC-BD |
| OA |
（3）如图3，当点C在y轴正半轴上运动，点A在x轴正半轴上运动，使点D恰为BC的中点，连接DE，求证：∠ADC=∠BDE．
考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形
专题：
分析：（1）作BD⊥CD，易证△OAC≌△DCB，即可解题；
（2）作BE⊥OC，易证OAC≌△ECB，可求得OC=AO+BD，即可解题；
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，易证△BCG≌△CAD，可得BG=BD，进而可以求证△DBE≌△GBE，可得∠BDE=∠BGE，即可解题．
（2）作BE⊥OC，易证OAC≌△ECB，可求得OC=AO+BD，即可解题；
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，易证△BCG≌△CAD，可得BG=BD，进而可以求证△DBE≌△GBE，可得∠BDE=∠BGE，即可解题．
解答：解：（1）作BD⊥CD，
∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
∵在△OAC和△DCB中，
，
∴△OAC≌△DCB，（AAS）
∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，
∴B点坐标为（3，-1）；
（2）作BE⊥OC，则四边形ODBE为矩形，
∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∵△OAC和△ECB中，
，
∴△OAC≌△ECB，（AAS）
∴EC=OA，
∵四边形ODBE为矩形，
∴OE=BD，
∵OC=OE+EC，
∴OC=AO+BD，
∴
存在定值，且为1；
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，
∴∠CBG=∠ACD=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO．
在△BCG和△CAD中，
，
∴△BCG≌△CAD（ASA），
∴BG=CD=BD．
∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠EBG=∠DBE=45°，
在△DBE和△GBE中，
，
∴△DBE≌△GBE（SAS），
∴∠BDE=∠BGE，
∵∠BCG+∠BGE=90°，∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠BGE=∠ADC，
∴∠ADB=∠CDE．
∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OAC+∠DCB=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
∵在△OAC和△DCB中，
|
∴△OAC≌△DCB，（AAS）
∴CD=OA=2，BD=OC=1，OD=3，
∴B点坐标为（3，-1）；
（2）作BE⊥OC，则四边形ODBE为矩形，
∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∵△OAC和△ECB中，
|
∴△OAC≌△ECB，（AAS）
∴EC=OA，
∵四边形ODBE为矩形，
∴OE=BD，
∵OC=OE+EC，
∴OC=AO+BD，
∴
| OC-BD |
| OA |
（3）过点B作BG⊥BC交y轴于点G，
∴∠CBG=∠ACD=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，∠ACO+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠CAO．
在△BCG和△CAD中，
|
∴△BCG≌△CAD（ASA），
∴BG=CD=BD．
∵∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠EBG=∠DBE=45°，
在△DBE和△GBE中，
|
∴△DBE≌△GBE（SAS），
∴∠BDE=∠BGE，
∵∠BCG+∠BGE=90°，∠BCG+∠ADC=90°，
∴∠BGE=∠ADC，
∴∠ADB=∠CDE．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并求证是解题的关键．
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| A、8 | B、0 | C、4 | D、-2 |