Question

点B在反比例函数y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的图象上，且OB=4，过B作x轴垂线垂足为A，∠BOA=30°．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B的直线与x轴交于点P，若△OBP为等腰三角形，求P点坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用OB=4，∠BOA=30°求得线段AB和线段OA的长即可得到点B的坐标，进而可以求得经过点B的双曲线的解析式；
（2）利用当BO=BP₁时，当BO=OP₂时，当BP₃=OP₃时，当BO=OP₄时分别求出P点坐标即可．

解答：解：（1）如图1，∵OB=4，∠BOA=30°，
∴BA=

1

2

OB=2，
∴OA=

3

AB=2

3

，
∴点B的坐标为：（2

3

，2），
∵点B在反比例函数y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的图象上，
∴2=

k

2 3

，
解得：k=4

3

，
∴反比例函数的解析式为：y=

4 3

x

；

（2）如图2，∵△OBP为等腰三角形，
∴当BO=BP₁时，此时AP₁=AO=2

3

，则P₁的坐标为（2

3

，0），
当BO=OP₂时，此时BO=OP₂=4，则P₂的坐标为（4，0），
当BP₃=OP₃时，∵∠BOA=30°，BP₃=OP₃，
∴∠BOA=∠OBP₃=30°，
∴∠BP₃A=60°，
∵AB=2，sin60°=

AB

BP3

，
∴BP₃=

AB

sin60°

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴BP₃=OP₃=

4 3

3

，
则P₃的坐标为（

4 3

3

，0），
当BO=OP₄时，此时BO=OP₄=4，则P₄的坐标为（-4，0），
综上，点P的坐标为（2

3

，0）或（4，0）或（

4 3

3

，0）或（-4，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合应用以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质进行分类讨论得出答案．