Question

如图，在菱形ABCD中，过点B作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，BM，BN分别交AC于点E、F．求证：AE=CF．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，对角相等可得∠BAM=∠BCN，对角线平分一组对角线可得∠BAE=∠DAE=∠DCA=∠BCF，再根据等角的余角相等求出∠ABE=∠CBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△CBF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠BAM=∠BCN，∠BAE=∠DAE=∠DCA=∠BCF，
又∵∠AMB=∠CNB=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，

∠BAE=∠BCF AB=BC ∠ABE=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．