Question

10．如图，?ABCD的边AD与经过A，B，C三点的⊙O相切，sin∠D=$\frac{5}{13}$，AD=24，则⊙O的半径为$\frac{169}{10}$．

Answer 1

分析 如图连接OB、OA，OA交BC于E，首先证明OA⊥BC，推出BE=EC=12，在Rt△ABE中，求出AB、AE，再在Rt△BOE中，求出OB即可．

解答 解：如图连接OB、OA，OA交BC于E．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC，AD∥BC，AD=BC=24，
∵AD是⊙O的切线，
∴AD⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴BE=EC=12，
在Rt△ABE中，sin∠ABE=sin∠D=$\frac{5}{13}$=$\frac{AE}{AB}$，
∵BE=13，
∴AE=5，AB=13，设半径为x，
在Rt△OBE中，∵OB²=BE²+OE²，
∴x²=12²+（x-5）²，
∴x=$\frac{169}{10}$，
∴⊙O是半径为$\frac{169}{10}$，
故答案为$\frac{169}{10}$．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．