Question

5．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把y=2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）设Q（a，b），代入反比例解析式得到b=$\frac{4}{a}$，分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出a的值，进而确定出b的值，即可得出Q坐标．

解答 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+1，
由PC=2，把y=2代入y=$\frac{1}{2}$x+1中，得x=2，即P（2，2），
把P代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
则双曲线解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）设Q（a，b），
∵Q（a，b）在y=$\frac{4}{x}$上，
∴b=$\frac{4}{a}$，
当△QCH∽△BAO时，可得$\frac{CH}{AO}$=$\frac{QH}{BO}$，即$\frac{a-2}{2}$=$\frac{b}{1}$，
∴a-2=2b，即a-2=$\frac{8}{a}$，
解得：a=4或a=-2（舍去），
∴Q（4，1）；
当△QCH∽△ABO时，可得$\frac{CH}{BO}$=$\frac{QH}{AO}$，即$\frac{a-2}{1}$=$\frac{b}{2}$，
整理得：2a-4=$\frac{4}{a}$，
解得：a=1+$\sqrt{3}$或a=1-$\sqrt{3}$（舍），
∴Q（1+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2）．
综上，Q（4，1）或Q（1+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．