Question

【题目】如图1，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到，的延长线交边于点，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）如图2，连接分别交、于点、．若，探究与之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）过点作于点，根据矩形的判定可得四边形和四边形是矩形，从而得出，，，然后证出，列出比例式，再利用等量代换即可得出结论；

（2）设，则，先证出，可得，然后证出，可得，即可求出EF和AC的关系，从而求出与之间的数量关系．

（1）证明：过点作于点，如图1所示：

则四边形和四边形是矩形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

即；

（2）解：∵，

∴设，则，

由（1）可知：，，

∵，

∴，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

∴，

根据翻折的性质可得

∵DC∥AB，∠APB=90°

∴＋∠BPM=90°，∠PAM＋∠PBM=90°

∴∠BPM=∠PBM

∴MP=MA，MP=MB

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．