Question

10．已知：∠A+∠C=∠B=60°，AD=CE，求证：BE=CD．

Answer 1

分析 以AE，EC为邻边作平行四边形AECG，连接AC，DG，设CE与DG交于H，AD与CE交于F，根据已知条件和平行线的性质得到∠4+∠5=AFE=∠FEB-∠1=180°-∠2-∠1=180°-60°-60°=60°，于是得到AD=CE=GA，推出△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠FHD=∠AGD=60°，证得∠3=∠FHD=60°，求得∠BEC=∠ADC，点AD，C，G四点共圆，根据圆周角定理得到∠2=60°-∠3=60°-∠4=∠5，推出△BCE≌△ADC，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：以AE，EC为邻边作平行四边形AECG，连接AC，DG，设CE与DG交于H，AD与CE交于F，
∵∠1+∠2=∠B=60°，AG∥EC，
∴∠4+∠5=AFE=∠FEB-∠1=180°-∠2-∠1=180°-60°-60°=60°，
∵AD=CE=GA，
∴△ADG是等边三角形，∠FHD=∠AGD=60°，
∴∠3=∠FHD=60°，
∵∠ADC+∠AGC=∠ADC+∠AEC=2∠B+∠1+∠2=180°，
∴∠BEC=∠ADC，点A，D，C，G四点共圆，
∴∠2=60°-∠3=60°-∠4=∠5，
在△BCE与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠ADC}\\{∠2=∠5}\\{CE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ADC，
∴BE=CD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．