Question

13．如图，已知⊙O的半径为2，C为直径AB延长线上一点，BC=2．过C任作一直线l．若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于45°．

Answer 1

分析 根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得OP=2$\sqrt{2}$，以O为圆心，以2$\sqrt{2}$长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°．

解答 解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，
∴∠MON=90°，
∴四边形PMON是正方形，
根据勾股定理求得OP=2$\sqrt{2}$，
∴P点在以O为圆心，以2$\sqrt{2}$长为半径作大圆⊙O上，
以O为圆心，以2$\sqrt{2}$长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，
∵PC是大圆⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
∵OC=4，OP=2$\sqrt{2}$，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OP=PC，
∴∠ACP=45°，
∴∠ACP的最大值等于45°，．
故答案为45°．

点评 本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．