Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF

（1）若AE＝BC

①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；

（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)①证明见解析；②12；③；(2)当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．

【解析】

（1）①如图1中，根据AAS证明：△ABE≌△DFA即可．

②利用勾股定理求出BE，即可解决问题．

③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．求出FM，MC即可解决问题．

（2）分三种情形分别求解即可解决问题．

解：(1)①如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．

∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．

∴∠B＝∠AFD＝90°，

又∵AE＝BC，

∴AE＝AD，

∴△ABE≌△DFA(AAS)．

②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，

根据勾股定理，得 BE＝＝3，

∵△ABE≌△DFA，

∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．

∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，

∴四边形CDFE的周长＝2(DC+EC)＝2×(4+2)＝12．

③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．

，

在Rt△FME中， ，

，

在Rt△FMC中， ．

(2)如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．

∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，

∴△ABE≌△DFA(AAS)．

∴AE＝AD＝5，

由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…

如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，

则CG∥AE，DH＝FH．

∴AG＝GD＝2.5．

∵CG∥AE，AG∥EC，

∴四边形AECG是平行四边形，

∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…

如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q．

则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，

∴AF＝FE＝AE．

∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，

∴△ABE∽△DFA，

∴，即AD×BE＝AF×AE．

设BE＝x，

∴5x＝，

解得x1＝2，x2＝8(不符合题意，舍去)

∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．

综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形．