Question

9．在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：
$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$；（一）
$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；（二）
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}-1$；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$$\sqrt{3}-1$；（四）
（1）化简$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（2）请用不同的方法化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$．
①参照（三）式得$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$
②步骤（四）式得$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$
（3）化简：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中所给出的例子把分母化为完全平方式的形式即可；
（2）①根据步骤（三）把分母乘以$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$即可；
②根据步骤（四）把分子化为（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$）的形式即可；
（3）把各式的分母有理化，找出规律即可得出结论．

解答 解：（1）$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{5}}$=$\sqrt{\frac{5}{5×5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$；

（2）①原式=$\frac{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；

②原式=$\frac{5-3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；

（3）原式=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$+…+$\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+…+\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$．

点评 本题考查的是分母有理化，根据题意得出分母有理化的规律是解答此题的关键．