Question

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，DF∥AB，交AC于F，∠DCE=30°，AB=DC=5，BC=13，求AC的长和四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再在Rt△DFC中，用含30°的直角三角形的性质求出DF，最后用面积的和即可求出结论．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=13，
根据勾股定理得，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∵DF∥AB，
∴∠AFD=∠BAC=90°，
∴∠DFC=90°，
在Rt△DFC中，∠DCE=30°，DC=5，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AB+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$×12×5+$\frac{1}{2}$×12×$\frac{5}{2}$=45．
即：AC的长为12，四边形ABCD的面积为45．

点评 此题主要考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行线的性质，不规则图形的面积的计算方法，三角形的面积公式，解本题的关键是求出AC和DF．