Question

17．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（-3，-4）的抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，已知C点坐标为（0，5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段BC的垂线交抛物线于点D，若以点A为圆心的圆与直线BD相切，求⊙A半径；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）²-4，将（0，5）代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求得A、B的坐标，从而可求得AB、BC的长，过点A作AE⊥BD，垂足为E．然后△ABE∽△BCD，由相似三角形的性质可求得AE的长；
（3）先求得直线AC的解析式，由相互垂直的直线的特点可知AP的一次项系数为-1，分别∠PAC=90°，∠ACP=90°两种情况求得AP的解析式，然后在求得AP与抛物线的交点P的坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）²-4，
∵把（0，5）代入得5=9a-4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+3）²-4，即y=x²+6x+5．
（2）如图1所示，过点A作AE⊥BD，垂足为E．

令y=0，得（x+3）²-4=0，解得：x₁=-5，x₂=-1，则A（-5，0）、B（-1，0）．
在Rt△COB中，由勾股定理可知：BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
∵A（-5，0）、B（-1，0），
∴AB=4．
∵∠CBE=90°，
∴∠CBO+∠EBA=90°．
又∵∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBO．
又∵∠AEB=∠COB，
∴△ABE∽△BCD．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{OB}{CB}$，即$\frac{AE}{4}=\frac{1}{\sqrt{26}}$．
解得：AE=$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
∴⊙A的半径为$\frac{2\sqrt{26}}{13}$．
（3）设AC的解析式为y=kx+b．
∵将（-5，0）、（0，5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{-5k+b=0}\end{array}\right.$，解得：b=5，k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+5．
如图2所示：当∠CAP=90°时．

∵AP⊥AC，
∴直线AP的一次项系数为-1．
设直线AP的解析式为y=-x+b₁，将（-5，0）代入得：5+b₁=0，解得：b₁=-5，则直线AP的解析式为y=-x-5．
将y=-x-5与y=x²+6x+5联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-5}\\{y={x}^{2}+6x+5}\end{array}\right.$，解得：x₁=-2，x₂=-5（舍去）．
∵将x=-2代入y=-x-5得：y=-3，
∴点P的坐标为（-2，-3）．
如图3所示：当∠ACP=90°时．

设直线AP的解析式为y=-x+b₂，将（0，5）代入得：b₂=5，则直线AP的解析式为y=-x+5．
将y=-x+5与y=x²+6x+5联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y={x}^{2}+6x+5}\end{array}\right.$，解得：x₁=-7，x₂=0（舍去）．
∵将x=-7代入y=-x+5得：y=12，
∴点P的坐标为（-7，12）．
综上所述，点P的坐标为（-2，-3）或（-7，12）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、相互垂直的两直线的特点，掌握抛物线的顶点式是解决问题（1）的关键，证得△ABE∽△BCD是解决问题（2）的关键，求得直线AP的解析式是解决问题（3）的关键．