题目内容
17．
如图．抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC，AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）将点C（0，3）、B（3，0）代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接AD．先求得抛物线的对称轴方程，然后利用抛物线的对称性求得点A的坐标，接下来，由点B和点C的坐标求得直线BC的解析式，再求得点D的坐标，最后依据S△ADC=S△BAC-S△ABD求解即可；
（3）当∠DFE=90°时，可求得点F的纵坐标为1，将y=1代入抛物线的解析式可求得点F和F′的横坐标，然后由可求得点E和点E′的坐标，当∠EDF=90°时，可先求得DF的解析式，然后将直线DF的解析式与抛物线的解析式联立求得点F和点F′的坐标，然后由可求得点E和点E′的坐标
解答 解：（1）∵将点C（0，3）、B（3，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：b=-4，c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．
（2）如图1所示，连接AD．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-4}{2×1}$=2，B（3，0），
∴A（1，0）．
∴AB=2．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将C（0，3）、B（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直线BC的解析式为y-x+3．
∵将x=2代入得：y=-2+3=1，
∴D（2，1）．
∴DG=1．
∵S△ADC=S△BAC-S△ABD，
∴S△ADC=$\frac{1}{2}$BA•OC-$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×2×1=2．
（3）如图2所示：当∠DFE=90°时．
∵EF∥OC，
∴∠DEF=∠BCO．
∵∠COB=∠EFD=90°，
∴△EFD∽△COB．
∴∠EDF=∠CBO．
∴DF∥OB．
∴点F的纵坐标为1．
将y=1代入抛物线的解析式得；x2-4x+3=1，解得：x1=2-$\sqrt{2}$，x2=2$+\sqrt{2}$，
∵将x=2-$\sqrt{2}$代入y=-x+3得；y=$\sqrt{2}$+1，
∴E（2-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+1）．
∵将x=2$+\sqrt{2}$代入y=-x+3得；y=1-$\sqrt{2}$，
∴E′的坐标为（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）．
如图3所示：当∠EDF=90°时，
∵∠DEF=∠BCO，∠EDF=∠COB=90°，
∴△EDF∽△COB．
∵DF⊥OB，
∴直线DF的一次项系数为1．
设DF的解析式为y=x+b，将D（2，1）代入得2+b=1，解得b=-1，
∴直线DF的解析式为y=x-1．
将y=x-1与y=x2-4x+3联立，解得：x1=1，x2=4．
∵将x=1代入y=-x+3得y=2，
∴E（1，2）．
将x=4代入y=-x+3得：y=-1，
∴E′（4，-1）．
综上所述，点E的坐标为（2-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+1）或（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（1，2）或（4，-1）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
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