Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出C坐标，得出直线BC斜率，求出过P且与BC平行的直线PD解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，检验得到四边形BCPD为菱形，符合题意．

解答：解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0），
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
将A（-4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得：

-4k+b=0 4k+b=2

，
解得：k=

1

4

，b=1，
∴一次函数解析式为y=

1

4

x+1，
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=

8

x

；
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，
对于一次函数y=

1

4

x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），
∴直线BC的斜率为

0-1

4-0

=-

1

4

，
设过点P，且与BC平行的直线解析式为y-2=-

1

4

（x-4），即y=

-x+12

4

，
与反比例解析式联立得：

y= -x+12 4 y= 8 x

，
消去y得：

-x+12

4

=

8

x

，
整理得：x²-12x+32=0，即（x-4）（x-8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
当x=8时，y=1，
∴D（8，1），
此时PD=

(4-8)2+(2-1)2

=

17

，BC=

(4-0)2+(0-1)2

=

17

，即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵PC=

(4-0)2+(2-1)2

=

17

，即PC=BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，
则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，两直线平行时斜率满足的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．