Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．

（1）求证：FD是⊙O的一条切线；

（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．

（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，

∴∠CAB=∠BFD，

∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行），

∵∠AEO=90°，

∴∠FDO=90°，

∴FD是⊙O的一条切线；

（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，

∴AE=EC=4，AO=5，

∴EO=3，

∵AE∥FD，

∴△AEO∽△FDO，

∴=，

∴=，

解得：FD=．