Question

15．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=$\frac{1}{2}AD$，DF=$\frac{1}{2}DF$，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

解答 解：如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正确．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD．
同理：DF=$\frac{1}{2}AD$．
∴DE+DF=AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°．
∴∠ABC=90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．
故④正确．
故选：C．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．