Question

8．对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′且沿周界ABCA与A′、B′、C′、A′环绕的方向相同，因此△ABC 与△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与 A′、B′、C′、A′环绕的方向相反，因此△ABC 与△A′B′C′互为逆相似．
（1）根据图I、图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ．其中，互为顺相似的是①②；互为逆相似的是③．（填写所有符合要求的序号）
（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据互为同相似和互为逆相似的定义即可作出判断；
（2）根据点P在点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合），需要分类讨论，逐一分析求解．

解答 解：（1）①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO互为顺相似；③△NQP与△NMQ互为逆相似，
故答案为：①②，③；

（2）如图1，①点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM（不含点M）上时，
过点P₁只能画出1条截线P₁Q，使∠AP₁Q=∠ABC，此时△AP₁Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，
分别使∠AP₂Q₁=∠ABC，∠CP₂Q₂=∠ABC，
此时△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都与△ABC互为逆相似．
故点P为AC边上（不与点A，C重合），
②如图2，点P在AB（不含点A、B）上，
过点C作∠BCM=∠A，CM交AB于点M，
当点P在AM（不含点M）上时，过点P₁只能画出1条截线P₁Q，
使∠AP₁Q=∠ACB，此时△AP₁Q与△ABC互为逆相似；
当点P在BM上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，
分别使∠AP₂Q₁=∠ACB，∠BP₂Q₂=∠ACB，
此时△AP₂Q₁、△Q₂P₂B都与△ABC互为逆相似．
③如图3，点P在BC（不含C、B）上，
过点P只能画出2条截线PQ₁、PQ₂，分别使∠CPQ₁=∠CAB，∠BPQ₂=∠CAB，
此时△CPQ₁、△Q₂PB都与△ABC互为逆相似．

点评 主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“同相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．