Question

如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可证出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．

（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．

证明：（1）∵ AD∥BC（已知），

∴ ∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.

∵ E是CD的中点（已知），

∴ DE=EC（中点的定义）．

∵ 在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EC，∠AED=∠CEF，

∴ △ADE≌△FCE（ASA），

∴ FC=AD（全等三角形的性质）．

（2）∵ △ADE≌△FCE，

∴ AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）.

又BE⊥AE，∴ BE是线段AF的垂直平分线，

∴ AB=BF=BC+CF.

∵ AD=CF（已证），

∴ AB=BC+AD（等量代换）．