Question

在直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，等腰直角△OAB的顶点A、B在某反比例函数的图象上，点A的横坐标为4，则△OAB的面积是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：

分析：首先根据已知构造矩形，得出△AON≌△BAW，进而得出矩形面积为：S=ON•WN=4（4+

k

4

）=16+k，再利用S_△AOB=16-

k

2

=

256+k2

32

，进而利用AO=AB，再表示出即可得出S_△AOB=

1

2

×

256+k2

4

×

256+k2

4

=

256+k2

32

，再利用两三角形面积相等得出k的值，即可得出答案．

解答：解：过点B作BM⊥y轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，并延长MB，NA交于一点W，
∵∠WMO=∠MON=∠WNO=90°，
∴四边形MONW是四边形，
设反比例函数的解析式为：y=

k

x

（k≠0），
由点A的横坐标为4，则A点坐标为：（4，

k

4

），
∵等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴AB=AO，
∵∠OAB=90°，
∴∠BAW+∠OAN=90°，
∵∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BAW=∠AON，
在△AON和△BAW中，

∠W=∠ANO ∠WAB=∠NOA AB=AO

，
∴△AON≌△BAW（AAS），
∴AW=NO，S_△AON=S_△BAW，
故WN=AW+AN=4+

k

4

，
∴矩形面积为：S=ON•WN=4（4+

k

4

）=16+k，
∵S_△MOB=S_△AON=S_△BAW=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，
∴S_△AOB=16+k-3×

k

2

=16-

k

2

，
∵NO=4，AN=

k

4

，
∴AB=AO=

42+ k2 42

=

256+k2

4

，
∴S_△AOB=

1

2

×

256+k2

4

×

256+k2

4

=

256+k2

32

，
∴16-

k

2

=

256+k2

32

，
整理得出：
k²+16k-256=0，
解得：k₁=-8+8

5

，k₂=-8-8

5

，
∴S_△AOB=16-

k

2

=16+4-4

5

=20-4

5

．或S_△AOB=16-

k

2

=16+4+4

5

=20+4

5

．
同理，当该反比例函数位于第二、四象限时，S_△AOB=40±16

5

．
故答案为：20±4

5

，40±16

5

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及全等三角形的判定与性质以及三角形面积求法等知识，根据已知用两种方法得出S_△AOB是解题关键．