Question

【题目】如图，在中，，，，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E，将翻折得到，延长FP交AB于H，连结AE，PE交AC于G.

（1）求证；

（2）当时，求AE的长；

（3）当时，求AG的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先证明P、C、F共线，由余角的性质可证，根据等角对等边证明，再由余角的性质证明和等角对等边证明，结论可证；

（2）过A作于M，由勾股定理可求BC=4，然后求出MP的长，再由勾股定理求出AP的长，由是等腰直角三角形可求出AE的长；

（3）通过证明，可得，由外角的性质可求出∠PAF=F=22.5°，再根据角的和差和三角形内角和定理证明，然后求出，然后通过证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，，

∴，

∴，

又∵，

∴，，

故F在AC的延长线上.

又，，

而，∴，

而，∴，∴，

又，，∴，

∴，∴，

（2）过A作于M，

∵，，

∴BC=4，

∴，，

又∵，

∴BP=3，CP=，

∴，

∴，

由（1）知AP=AE，

∴是等腰直角三角形，

∴；

（3）由，且得

，∴，

∴，∴，

∴，∴，

∵，

∴，而∴，

∴，∴，

∴，

∴.