Question

【题目】如图，在中，，，为外一点，将绕点按顺时针方向旋转得到，且点、、三点在同一直线上.

（1）（观察猜想）

在图①中， ；在图②中， （用含的代数式表示）

（2）（类比探究）

如图③，若，请补全图形，再过点作于点，探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）（问题解决）

若，，，求点到的距离.

Answer 1

【答案】（1）；；（2），证明见解析；（3）点到的距离为或.

【解析】

（1）在图①中由旋转可知，由三角形内角和可知∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，因为，∠OAP+∠PAB=∠OAB，所以∠APB=∠AOB=α；在图②中，由旋转可知，得到∠OBP+OAP=180°，通过四边形OAPB的内角和为360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，因此∠APB=；

（2）由旋转可知≌，，，，因为，得到，即可得证；

（3）当点在上方时，过点作于点，由条件可求得PA，再由可求出OH；当点在下方时,过点作于点，同理可求出OH.

（1）①由三角形内角和为180°得到∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，

由旋转可知，

又∵∠OAP+∠PAB=∠OAB，

∴∠OBP+∠PAB+∠ABO+∠AOB=180°，即∠PAB+∠ABP+∠AOB=180°，

∴∠APB=∠AOB=α；

②由旋转可知，

∵=180°，

∴∠OBP+OAP=180°，

又∵∠OBP+OAP+∠AOB+∠APB=360°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∴∠APB=；

（2）

证明：由绕点按顺时针方向旋转得到

∴≌，，，，

又∵，

∴

∴

（3）【解法1】

（i）如图，当点在上方时，过点作于点

由（1）知，，

∵

∴

由(2)知,

∴

(ii)如图,当点在下方时,过点作于点

由(1)知, ,

∵

∴

∴

∴点到的距离为或.

【解法2】

（i）如图，当点在上方时 ，过点作于点，

∵，，

∴，

∵，取的中点

∴

∴点，，，四点在圆上

∴，且

∴

∴

∵，，

∴

在中，，设，则

∴，化简得：

∴，（不合题意，舍去）

∴

（ii）若点在的下方，过点作，

同理可得：

∴点到的距离为或.