Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，在CA的延长线上取点D，在BC上取点E、F，连接ED、DF，DE交AB于点G，已知∠FDC=∠AGD
（1）如图1，求证：DE=DF．
（2）如图2，若∠EDF=∠B+∠FDC，连接GF，∠GFD=∠DGA，求证：DG=BE．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BA至点H，连接HF，使∠H=∠DFE，且DG=AG，若BE+EG+FC=10，求BH长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，得出∠B=∠C，再根据∠FDC=∠AGD以及三角形外角性质，得出∠DEF=∠DFE，即可得到DE=DF；
（2）先∠EDF=∠B+∠FDC，以及三角形的外角性质，得到∠EDF=∠DFE，进而得到ED=EF，再根据DE=DF，得出△DEF是等边三角形；再根据∠GFD=∠FDC，得到GF∥DC，进而得到$\frac{DG}{GE}$=$\frac{CF}{DF}$，然后判定△CDF∽△BGE，得到$\frac{CF}{DF}$=$\frac{BE}{GE}$，根据等量代换得到$\frac{DG}{GE}$=$\frac{BE}{GE}$，即DG=BE；
（3）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出∠FGH=∠FGE，再根据△DEF是等边三角形，且∠H=∠DFE，得出∠H=∠GEF=60°，进而判定△GEF≌△GHF，得到HF=EF=DE，再判定△BFH≌△CDE（AAS），即可得出BH=EC=EF+CF=DE+CF=DG+GE+CF=BE+EG+FC=10．

解答 解：（1）如图1，∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠FDC=∠AGD=∠BGE，
∴∠B+∠BGE=∠C+∠FDC，
又∵∠DEF=∠B+∠BGE，∠DFE=∠C+∠FDC，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF；

（2）如图2，∵∠EDF=∠B+∠FDC=∠C+∠FDC，∠DFE=∠C+∠FDC，
∴∠EDF=∠DFE，
∴ED=EF，
又∵DE=DF，
∴ED=EF=DF，即△DEF是等边三角形，
∵∠GFD=∠DGA，∠FDC=∠AGD，
∴∠GFD=∠FDC，
∴GF∥DC，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{CF}{FE}$，即$\frac{DG}{GE}$=$\frac{CF}{DF}$，
∵∠B=∠C，∠FDC=∠AGD=∠BGE，
∴△CDF∽△BGE，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{BE}{GE}$，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{BE}{GE}$，即DG=BE；

（3）如图3，∵DG=AG，
∴∠GDA=∠GAD，
又∵GF∥DC，
∴∠FGH=∠GAD，∠FGE=∠GDA，
∴∠FGH=∠FGE，
∵△DEF是等边三角形，且∠H=∠DFE，
∴∠H=∠GEF=60°，
∵在△GEF和△GHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠GEF}\\{∠FGH=∠FGE}\\{GF=GF}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△GHF（ASA），
∴HF=EF=DE，
∵在△BFH和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠H=∠DEF}\\{HF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFH≌△CDE（AAS），
∴BH=EC=EF+CF=DE+CF=DG+GE+CF=BE+EG+FC=10．

点评 本题主要考查了请点击三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．