Question

5．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4$\sqrt{3}$，M，N分别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为4$\sqrt{3}$+4．

Answer 1

分析 将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，求出∠EAM=∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN=ME，求出MN=CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长=BD+DC，代入求出即可．

解答 解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，
∵∠BAC=∠D=90°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°，
∴∠ABD+∠ABE=180°，
∴E，B，M三点共线，
∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC-∠MAN=90°-45°=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN=ME，
∴MN=CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BD=4$\sqrt{3}$，CD=BD×tan∠CBD=4，
∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=4$\sqrt{3}$+4，
故答案为：4$\sqrt{3}$+4．

点评 本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．