Question

【题目】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数图象上一点，过点M作轴，如果二次函数的图象与关于l成轴对称，则称是关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点M是二次函数图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数是关于点M的伴随函数．

若，

求的函数表达式．

点，在二次函数的图象上，若，a的取值范围为______．

过点M作轴，

如果，线段MN与的图象交于点P，且MP：：3，求m的值．

如图3，二次函数的图象在MN上方的部分记为，剩余的部分沿MN翻折得到，由和所组成的图象记为.以、为顶点在x轴上方作正方形直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

Answer 1

【答案】的函数表达式为， ；

或， 当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．

【解析】

根据题意，当时，可得到抛物线的顶点为，再用顶点式写出函数表达式即可；

由点，在二次函数的图象上，得到，再根据，可得a的取值范围；

由轴，MP：：3，得到，然后根据当m＞0和m＜0时，分情况讨论即可得到答案；

通过分别分析当m=,1，，2值，得到正方形与G的公共点数，从而得到正方形与G有三个公共点时m的取值范围.

当时，抛物线与抛物线关于直线对称，

抛物线的顶点是，

抛物线的解析式为；

点，在二次函数的图象上，

∴，

当时，，

解得：，

故答案为：；

轴，MP：：3，

∴，

当时，，，

当时，，，

故或；

分析图象可知：

当时，可知C1和G的对称轴关于直线对称，的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，

当时，G与正方形ABCD有三个公共点，

当时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，

当1＜m＜时，G与正方形ABCD有五个公共点，

当m＝时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，

当＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，

当时，G过点且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，

故当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．