题目内容
【题目】感知：如图1，在
中，D、E分别是AB、AC两边的中点，延长DE至点F，使
，连结
易知
≌
．
探究：如图2，AD是的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且
，求证：
．
应用：如图3，在中，
，
，
，DE是的中位线
过点D、E作
，分别交边BC于点F、G，过点A作
，分别与FD、GE的延长线交于点M、N，则四边形MFGN周长C的取值范围是______．
【答案】（1）探究：证明见详解 （2）应用：
【解析】
（1）探究：如图，延长AD至点M，使
，连接MC，根据题意有
≌
，得到
，
，然后因为
，
，所以
，即
.
（2）应用：由题意知四边形MFGN是平行四边形，因为
是
的中位线，所以MN=FG=DE，故当NG⊥BC是四边形MFGN周长C的值最小，当NG与AC重合时四边形MFGN周长C最大，分别求出最大最小值即可.
（1）探究：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，
在和中，
，
≌
；
，，
，
，
，
，
，
；
（2）应用：解：如图3，
，
，
四边形MFGN是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形MFGN周长
，
时，MF最短，
即：四边形MFGN的周长最小，
过点A作
于H，
∴
，
在
中，
，
，
，
，
，
∴
，
四边形MFGN的周长C最小为
，
四边形MFGN的周长C最大为
，
如图
故答案为：
．
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