Question

9．某景区有一个景观奇异的天门洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处，在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A的仰角∠ABC=40°，在D处测得A的仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE的垂线，垂足为C．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过D点作AB的垂线，垂足为G，求DG的长及索道AB的长．（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）利用点D处的周角即可求得∠ADB的度数；
（2）首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．

解答 解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°，
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°，
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°；

（2）过点D作DG⊥AB于点G．
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°，
又∵BD=100，
∴GD=BD=100×$\frac{1}{2}$=50，
∴GB=BD×cos30°=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$，
在Rt△ADG=105°-60°=45°，
∴GD=GA=50，
∴AB=AG+GB=50+50$\sqrt{3}$，
答：索道长（50+50$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查仰角的定义及直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．