Question

20．观察下列有规律的一列数：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{30}$，$\frac{1}{42}$…根据规律可知
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…
（1）$\frac{1}{110}$是第10个数；
（2）计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{110}$．
（3）计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+$\frac{1}{8×10}$+…+$\frac{1}{18×20}$．

Answer 1

分析 （1）分母都是可以拆成两个连续自然数的乘积，第一个因数就是这个数所在的位置，因为110=10×11，所以$\frac{1}{110}$是第10个数；
（2）利用规律把分数拆分计算即可；
（3）提取$\frac{1}{4}$，进一步拆分得出答案即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{110}$是第10个数；
（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{110}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$
=1-$\frac{1}{11}$
=$\frac{10}{11}$．
（3）$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+$\frac{1}{8×10}$+…+$\frac{1}{18×20}$
=$\frac{1}{4}$×（2+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{4}$×（3-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{29}{10}$
=$\frac{29}{40}$．

点评 此题考查有理数的混合运算，掌握数据的规律，正确拆分得出答案即可．