Question

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=

1

2x

的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（

3

4

、

2

3

），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）分别求出点E、F的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）分别计算AF与BE的值；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,探究型,数形结合

分析：（1）首先求得直线AB的解析式，E的横坐标是

3

4

，代入解析式即可求得纵坐标，F的纵坐标是

2

3

，代入解析式即可求得横坐标；
（2）利用割补法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根据相似三角形的判定定理SAS证明△AOF∽△BOE．

解答：（1）解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意，得：

k+b=0 b=1

，
解得：

k=-1 b=1

，
则直线AB的解析式是：y=-x+1，
当x=

3

4

时，y=

1

4

；
当y=

2

3

时，x=

1

3

．
则点E（

3

4

，

1

4

），点F（

1

3

，

2

3

）；

（2）解：S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF
=

1

2

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

2

3

×

1

3

-

1

2

×（

3

4

+

2

3

-1）²
=

1

2

-

3

32

-

1

9

-

25

288

=

5

24

；

（3）解：BE=

( 3 4 )2+( 3 4 )2

=

3 2

4

，
AF=

( 2 3 )2+( 2 3 )2

=

2 2

3

；

（4）△AOF∽△BEO，
证明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO；
∵AF•BE=1；
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

；
∴△AOF∽△BEO．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题、相似三角形的判定及勾股定理．解答（4）题时，利用反比例函数图象上的点的特点，图象上所有的点都满足函数解析式．