Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点M（1，-2）、N（-1，6）．把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，则△ABC平移的距离为

 

．若把△ABC沿着y轴的负方向平移距离为

 

，能使得BC所在直线与抛物线只有一个交点．

Answer 1

分析：把M，N的坐标代入y=x²+bx+c即可求得抛物线解析式，易求得AB长，利用勾股定理即可求得AC长，那么把AC作为抛物线上点的纵坐标代入可求得横坐标，减去点A的横坐标即为平移的距离；易求得BC的解析式，设出平移后的解析式，与二次函数组成方程组，整理后让判别式为0即可得到平移的距离．

解答：解：把M、N的坐标代入y=x²+bx+c，得：b+c=-3，c-b=5，解得b=-4，c=1，
∴函数解析式为：y=x²-4x+1．
∵AB=4-1=3，BC=5，
∴AC=4，
∴C（1，4），
∴4=x²-4x+1，
解得x=2+

7

或x=2-

7

（舍），2+

7

-1=1+

7

，
∴△ABC向右平移了（1+

7

）个单位；
设BC的解析式为y=kx+b，
则4k+b=0，k+b=4，
解得k=-

4

3

，b=

16

3

，
∴y=-

4

3

x+

16

3

，
设向上平移m个单位，则y=-

4

3

x+

16

3

+m，那么

y=x2-4x+1 y=- 4 3 x+ 16 3 +m

∴x²-4x+1=-

4

3

x+

16

3

+m，
∴x²-

8

3

x+（-

13

3

-m）=0，
当△=0时，
（

8

3

）²-4×（-m-

13

3

）=0，
解得m=-

55

9

，
∴应向上平移

55

9

个单位．

点评：左右平移，点的纵坐标不变；抛物线与直线只有一个交点，抛物线解析式与直线解析式整理为一元二次方程后，根的判别式为0．