Question

如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线的顶点为原点，可设其解析式为：y=ax²，然后将A点坐标代入上式，即可确定该抛物线的解析式；已知了A、B的坐标，可利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）设出点D的横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式，可得到D、E的纵坐标，进而可求得DE和OD²的表达式，由于DE∥y轴，且∠CDO=∠DEO，易证得△COD∽△ODE，得OD²=DE•OC，OC的长易求得，将DE、OD²的表达式代入上式，即可求得点D的坐标．

解答：解：（1）设二次函数解析式为y=ax²，
∵点A（3，3）在二次函数图象上，
∴3=9a，（1分）
∴a=

1

3

，
∴二次函数解析式为y=

1

3

x2，（2分）
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点A和点B（6，0），
∴

3=3k+b 0=6k+b

，（3分）
∴

k=-1 b=6

；（4分）
∴一次函数解析式为y=-x+6；（5分）

（2）∵DE∥y轴，
∴∠COD=∠ODE，
∵∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，（6分）
∴

DE

DO

=

DO

CO

，
∴DO²=DE•CO；（7分）
设点D的坐标为（m，-m+6），
∴点E的坐标为（m，

1

3

m2），（8分）
∴OD²=m²+（m-6）²=2m²-12m+36，DE=-m+6-

1

3

m2；（9分）
∵点C（0，6），
∴CO=6；
∴2m²-12m+36=6（-m+6-

1

3

m2），（10分）
∴4m²-6m=0，
∴m₁=0（不符题意，舍去），m₂=

3

2

，（11分）
∴点D的坐标为（

3

2

，

9

2

）．（12分）

点评：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法以及相似三角形的判定和性质，（2）题中，能够正确的找到与所求相关的相似三角形是解决问题的关键．