Question

9．如图，在平面直角坐标系中，三角板AOB的边OB在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°且OB=2，将△ABO绕点B逆时针旋转到△A′BO′，当原点O在A′O′上时，点A′的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作A'C⊥x轴，在RT△ABO中求出AO、∠AOB，根据旋转性质知△BOO'为等边三角形，进而知RT△A'OC中，A'O=2、∠A'OC=60°，根据三角函数可求得点A'坐标．

解答 解：如图，过点A'作A'C⊥x轴，垂足为点C，

RT△ABO中，∵OB=2，∠A=30°，
∴OA=2OB=4，∠AOB=60°，
又∵由旋转性质可得：OB=O'B=2，O'A'=0A=4，∠AOB=∠A'O'B'=60°，
∴△BOO'是等边三角形，OO'=0B=O'B=2，
∴∠A'OC=∠BOO'=60°，OA'=O'A'-OO'=2，
在RT△A'OC中，A'C=OA'sin∠A'OC=2×sin60°=$\sqrt{3}$，
CO=OA'cos∠A'OC=2×cos60°=1，
则A'的坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
故答案为：（-1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查因旋转的变化中点的坐标，熟悉旋转的性质是根本，利用旋转的性质得到有利的线段长度和角的大小是关键．