Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论正确的有

 

个    
 ①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax²+bx≥a+b．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与x轴的交点在x轴下方得c＜0，则ac＜0；由于抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则-

b

2a

=1，即2a+b=0；由于当x=2时，函数值小于0，所以4a+2b+c＜0；由于当x=1时，函数有最小值a+b+c，所以对于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，即ax²+bx≥a+b．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与x轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=1，即2a+b=0，所以②正确；
∵当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以③错误；
∵当x=1时，函数有最小值a+b+c，
∴对于任意x均有ax²+bx+c≥a+b+c，即ax²+bx≥a+b，所以④正确．
故答案为3．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．