Question

某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
已知△ABC如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图并证明BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）

●类比探究：
如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么数量关系？说明理由．
●灵活运用：
如图3，已知△ABC中，AB=2

2

，BC=3，∠ABC=45°，过点A作EA⊥AC，垂足为A，且满足AC=AE，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）根据题意画出相应图形，如图所示，（分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧的交点即为点D，△ABD为等边三角形，△ACE同理可得），由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AD=AB，AE=AC，且∠BAD=∠CAE=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACD与三角形AEB全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD=BE；
（2）CE=BG，理由为：由四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，利用正方形的性质得到AD=AB，AE=AC，且∠BAD=∠CAE=90°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABG全等，利用全等三角形的对应边相等得到CE=BG；
（3）以AB为边向外作等腰直角三角形ABG，连接CG，在等腰三角形ABG中，利用勾股定理求出BG的长，进而得到三角形BCG为直角三角形，利用勾股定理求出CG的长，由三角形ACG与三角形ABE都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AG=AB，AE=AC，且∠BAG=∠CAE=90°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACG与三角形ABE全等，利用全等三角形的对应边相等得到CG=BE，即可求出BE的长．

解答：解：（1）作图，如图所示：

∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠CAB，即∠DAC=∠EAB，
在△ACD和△AEB中，

AD=AB ∠DAC=∠EAB AC=AE

，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴BE=CD；
（2）CE=BG，理由为：
证明：∵四边形ABDE与四边形ACFG都为正方形，
∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠CAB，即∠EAC=∠BAG，
在△ACE和△ABG中，

AE=AB ∠EAC=∠BAG AC=AG

，
∴△ACE≌△ABG（SAS），
∴CE=BG；
（3）以AB为边向外作等腰直角三角形ABG，连接CG，

证明：在等腰Rt△ABG中，AB=AC=2

2

，
根据勾股定理得：BG=

AB2+AG2

=

8+8

=4，
∵∠CBA=∠ABC=45°，
∴∠GBC=90°，
∴△CBG为直角三角形，
根据勾股定理得：CG=

BG2+BC2

=5，
∵△ABG和△ACE为等腰直角三角形，
∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，
∴∠BAG+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠GAC=∠BAE，
在△ABE和△ACG，

AG=AB ∠GAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴BE=CG=5．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．