Question

如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AB的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,正方形的判定

专题：

分析：（1）利用切线的性质得出∠C=∠CFO=∠CEO=90°进而得出四边形CFOE是矩形，即可得出四边形OECF为正方形；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出

DE

CD

=

EO

AC

，进而得出⊙O的半径；
（3）利用切线的性质以及勾股定理得出BG的长，即可得出AB的长．

解答：（1）证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，
∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，
∴四边形CFOE是矩形，
∵OF=OE，
∴四边形OECF为正方形；

（2）解：由题意可得：EO∥AC，
∴△DEO∽△DCA，
∴

DE

CD

=

EO

AC

，
设⊙O的半径为x，
则

2-x

2

=

x

6

，
解得：x=1.5，
故⊙O的半径为1.5；

（3）解：∵⊙O的半径为1.5，AC=6，
∴CF=1.5，AF=4.5
∴AG=4.5，
设BG=BE=y，
∴在Rt△ACB中
AC²+BC²=AB²，
∴6²+（y+1.5）²=（4.5+y）²，
解得：y=3，
∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．

点评：此题主要考查了切线的性质以及勾股定理和正方形的判定和相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEO∽△DCA是解题关键．